MATLAB - 向量

MATLAB - 向量

在 MATLAB 中，向量（Vector）是一个一维数字数组。由于 MATLAB 是 “Matrix Laboratory”（矩阵实验室）的缩写，向量是几乎所有数据操作的基本构建块。通过一个称为向量化（Vectorization）的强大概念，理解向量是编写高效、可读且符合 MATLAB 习惯的代码的关键。

MATLAB 支持两种类型的向量：

• 行向量（Row Vectors）：一个 1xN 数组。
• 列向量（Column Vectors）：一个 Nx1 数组。

创建向量

手动创建

行向量通过将元素用方括号 [] 括起来，并用空格或逗号分隔来创建。

% 行向量
row_vec = [7 8 9 10 11]
% 或另一种方式
% row_vec = [7, 8, 9, 10, 11]

列向量的创建方式类似，但元素之间用分号 ; 分隔。

% 列向量
col_vec = [7; 8; 9; 10; 11]

编程创建

更常见的是使用函数创建向量：

% 冒号运算符，用于等间距元素（步长为 1）
v1 = 1:5         % 结果：[1 2 3 4 5]

% 带有指定步长的冒号运算符
v2 = 0:0.5:2     % 结果：[0 0.5 1.0 1.5 2.0]

% `linspace` 用于指定数量的点
v3 = linspace(0, 10, 5) % 0 到 10 之间的 5 个点。结果：[0 2.5 5 7.5 10]

% 预分配一个全零向量（有利于性能）
v4 = zeros(1, 4) % 结果：[0 0 0 0]

访问向量元素（索引）

您可以使用括号 () 访问和修改向量元素。MATLAB 索引从 1 开始。

v = [10 20 30 40 50];

% 访问第三个元素
elem3 = v(3)      % 结果：30

% 使用 'end' 关键字访问最后一个元素
last_elem = v(end) % 结果：50

% 访问一系列元素（一个“切片”）
sub_vec = v(2:4)  % 结果：[20 30 40]

% 访问非连续元素
non_contig = v([1 4]) % 结果：[10 40]

% 修改元素
v(1) = 99;        % v 现在是 [99 20 30 40 50]

逻辑索引

一个强大的功能是根据逻辑条件访问元素。这是向量化的基石。

v = [10 20 30 40 50];

% 查找所有大于 25 的元素
large_vals = v(v > 25) % 结果：[30 40 50]

基本向量运算

向量上的运算通常逐元素执行。

a = [1 2 3];
b = [4 5 6];

% 加法和减法（向量必须大小相同）
sum_vec = a + b     % 结果：[5 7 9]
diff_vec = b - a    % 结果：[3 3 3]

% 标量乘法
scaled_vec = a * 3  % 结果：[3 6 9]

% 逐元素乘法（注意点：.*）
% 这不是点积。
elem_prod = a .* b  % 结果：[1*4, 2*5, 3*6] -> [4 10 18]

% 转置（将行转换为列，反之亦然）
col_a = a'          % 结果：一个 3x1 列向量

% 向量追加（拼接）
horz_cat = [a, b]   % 结果：[1 2 3 4 5 6]
vert_cat = [a'; b'] % 结果：一个 6x1 列向量

% 向量幅值（欧几里得范数）
mag = norm(a)       % 结果：sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) -> sqrt(14)

% 点积
dp = dot(a, b)      % 结果：1*4 + 2*5 + 3*6 -> 32

常见错误：* 与 .*

初学者最常见的错误是混淆矩阵乘法（*）与逐元素乘法（.*）。

• a .* b（逐元素）：对应元素相乘。a 和 b 必须具有相同的大小。结果是相同大小的向量。
• a * b（矩阵乘法）：执行线性代数乘法。对于向量，只有当内部维度一致时才定义此操作（例如，row_vec * col_vec 是一个标量点积，col_vec * row_vec 是一个矩阵外积）。错误地使用这通常会导致“维度不匹配”（dimension mismatch）错误。

实际应用：二维运动学

向量非常适合表示物理量，如位置、速度和加速度。

% 对象的初始位置和速度向量
pos0 = [10, 20]; % (x, y) 位置，单位米
vel = [5, -2];   % (vx, vy) 速度，单位米/秒

% 经过时间
dt = 2; % 秒

% 使用向量加法计算新位置
pos1 = pos0 + vel * dt;

fprintf('New position is (%.1f, %.1f) meters.\n', pos1(1), pos1(2));

% 计算速度（速度向量的幅值）
speed = norm(vel);
fprintf('Speed is %.2f m/s.\n', speed);