MATLAB - 数组乘法

MATLAB - 数组运算：逐元素乘法 vs. 矩阵乘法

在 MATLAB 中，“乘法”一词可以有两种截然不同的含义，理解其区别对于正确高效地编写代码至关重要。我们区分逐元素乘法（element-wise multiplication），它作用于数组的对应元素，以及矩阵乘法（matrix multiplication），它遵循线性代数的规则。

逐元素乘法：点运算符（.*）

当您希望将两个数组的对应元素相乘时，请使用逐元素乘法。这常用于数据缩放、将公式应用于数据集或处理非线性方程。

语法

% 点星号运算符
X = A .* B

% 等效的函数调用（在脚本中不常用）
X = times(A, B)

为了使 A .* B 正常工作，数组 A 和 B 必须具有完全相同的维度，或者具有适用于广播（broadcasting，也称为隐式扩展 implicit expansion）的兼容维度。

示例 1：两个向量相乘

让我们将两个相同大小的向量相乘。

% 定义两个行向量
A = [1 2 3];
B = [4 5 6];

% 执行逐元素乘法
X = A .* B

命令窗口输出：

X =
     4    10    18

X 中的每个元素都是 A 和 B 中相同位置元素的乘积（即 X(1)=A(1)*B(1)，X(2)=A(2)*B(2) 等）。

示例 2：使用标量进行广播

一个常见的用例是将整个矩阵乘以一个单一数字。这是广播的一种简单形式。

% 定义一个 2x3 矩阵
M = [1, 2, 3; 4, 5, 6];

% 将整个矩阵缩放 10 倍
Scaled_M = M .* 10

命令窗口输出：

Scaled_M =
    10    20    30
    40    50    60

示例 3：广播行向量和列向量

广播允许 MATLAB 隐式地扩展具有单例维度的数组，以匹配另一个数组的大小。这里，我们将一个 1x3 的行向量与一个 4x1 的列向量相乘，生成一个 4x3 的矩阵。这对于创建查找表或网格非常强大。

% 定义一个 1x3 的行向量
rowVec = 1:3;

% 定义一个 4x1 的列向量（注意转置运算符 '）
colVec = (1:4)';

% 将它们相乘。MATLAB 会将 rowVec 向下扩展 4 次，并将 colVec 向右扩展 3 次。
resultMatrix = colVec .* rowVec

命令窗口输出：

resultMatrix =
     1     2     3
     2     4     6
     3     6     9
     4     8    12

矩阵乘法：星号运算符（*）

矩阵乘法用于线性代数运算，例如求解线性方程组、执行几何变换或处理状态空间模型。这与逐元素乘法有着根本的区别。

语法和规则

% 星号运算符
C = A * B

% 等效的函数调用
C = mtimes(A, B)

对于 C = A * B，内层维度必须匹配。如果 A 是一个 m x n 矩阵，则 B 必须是一个 n x p 矩阵。结果矩阵 C 将是 m x p。

示例 4：清晰比较

让我们定义两个矩阵，看看两种乘法之间的区别。

% 定义两个 2x2 矩阵
A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];

% 执行逐元素乘法
C_elementwise = A .* B

% 执行矩阵乘法
C_matrix = A * B

命令窗口输出：

C_elementwise =
     5    12
    21    32

C_matrix =
    19    22
    43    50

请注意完全不同的结果！C_matrix(1,1) 的计算方式是 (1*5 + 2*7) = 19，遵循矩阵乘法的规则。

最佳实践和常见错误

• 何时使用哪种？ 使用 .*（以及 ./、.^）来将公式应用于数据。使用 *（以及 / 用于矩阵除法）进行线性代数运算。
• 常见错误：Incorrect dimensions for matrix multiplication. Check that the number of columns in the first matrix matches the number of rows in the second matrix. 当您使用 * 但内层维度不匹配时，就会发生此错误。解决方法是检查您的逻辑，或者如果您的意图是逐元素乘法，则使用 .*。
• 性能：MATLAB 的矩阵运算（*）通过底层库（如 BLAS 和 LAPACK）进行了高度优化。对于线性代数运算，它们的速度非常快。