MATLAB - 二重积分

MATLAB - 数值积分

积分是微积分中的一个基本概念，用于计算面积、体积和总累积量等。虽然有些函数可以进行解析积分，但许多实际问题需要使用数值积分来近似求解。

MATLAB 提供了一套强大的数值积分器，用于计算单重、二重和三重积分，旨在处理各种函数和积分域。

单重、二重和三重积分

• 单重积分，$$\int_a^b f(x) , dx$$，计算二维曲线下的面积。
• 二重积分，$$\iint_R f(x,y) , dA$$，计算三维区域 R 上表面下的体积。
• 三重积分，$$\iiint_V f(x,y,z) , dV$$，计算超空间体积或在三维体积 V 上累积量。

MATLAB 的数值积分套件

现代 MATLAB 中用于数值积分的主要函数是：

• integral(fun, xmin, xmax)：用于单重积分。
• integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)：用于二重积分。
• integral3(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax)：用于三重积分。

对于所有这些函数，fun 是一个函数句柄（function handle），通常使用 @ 语法定义。例如：f = @(x,y) x.^2 + y.^2;。

使用 integral2 求解二重积分

integral2 函数数值计算函数 fun(x,y) 在平面区域上的二重积分。

语法

% 对于矩形区域
q = integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)

% 对于非矩形区域（y 限制取决于 x）
q = integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)

% 带有附加选项
q = integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, Name, Value)

语法解释

• fun：待积分函数的句柄。它必须是向量化的（vectorized），这意味着它可以接受 x 和 y 的数组作为输入。
• xmin，xmax：x 的积分限制，必须是有限的标量。
• ymin，ymax：y 的积分限制。它们可以是标量（用于矩形区域）或取决于 x 的函数句柄（用于非矩形区域）。

示例 1：矩形区域

计算在由 $$0 \leq x \leq 1$$ 和 $$0 \leq y \leq 2$$ 定义的矩形区域上，曲面 $$f(x,y) = x^2 + y^2$$ 下方的体积。

% 1. 定义向量化函数句柄
fun = @(x, y) x.^2 + y.^2;

% 2. 定义积分限制
xmin = 0;
xmax = 1;
ymin = 0;
ymax = 2;

% 3. 计算二重积分
volume = integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax);

% 4. 显示结果
fprintf('The calculated volume is: %f\n', volume);
% 输出：计算出的体积为：3.333333

示例 2：非矩形（三角形）区域

让我们在由 x 轴、直线 $$y=2x$$ 和直线 $$x=1$$ 围成的三角形区域上积分函数 $$f(x,y) = e^{-x^2}y$$。

积分限制为：$$0 \leq x \leq 1$$ 和 $$0 \leq y \leq 2x$$。

% 1. 定义向量化函数句柄
fun = @(x, y) exp(-x.^2) .* y;

% 2. 定义 x 限制（外层积分）
xmin = 0;
xmax = 1;

% 3. 定义 y 限制为 x 的函数句柄（内层积分）
ymin = @(x) 0;
ymax = @(x) 2*x;

% 4. 计算积分
result = integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax);

% 5. 显示结果
fprintf('The integral over the triangle is: %f\n', result);
% 输出：三角形区域上的积分值为：0.632121

最佳实践和高级用法

控制精度

你可以使用 Name,Value 对来控制积分的精度：

• 'RelTol'：相对容差，默认值为 1e-6。
• 'AbsTol'：绝对容差，默认值为 1e-10。

例如，要请求更高的精度：

q = integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, 'AbsTol', 1e-12, 'RelTol', 1e-9);

处理奇异点

MATLAB 的积分器是自适应的，通常可以处理积分域边界处的奇异点。然而，对于复杂情况或域内部的奇异点，你可能需要将积分拆分为多个部分以避免问题点。

选择积分方法

'Method' 选项允许你选择积分算法（'auto'、'tiled'、'iterated'）。默认值 'auto' 通常是最佳选择，因为它会根据提供的限制选择最优方法。