R - 正态分布

R - 正态分布

在统计学中，许多随机过程都表现出正态分布。当绘制成图时，这种分布形成一个对称的钟形曲线。曲线的中心代表数据的均值（平均值），其散布程度由标准差决定。正态分布是统计推断和建模的基石。

R 提供了一套处理正态分布的四个强大函数。

dnorm(x, mean = 0, sd = 1)
pnorm(q, mean = 0, sd = 1)
qnorm(p, mean = 0, sd = 1)
rnorm(n, mean = 0, sd = 1)

以下是上述函数中使用的参数描述：

• x, q：分位数向量（x 轴上的值）。
• p：概率向量（0 到 1 之间的值）。
• n：要生成的观测值数量（样本大小）。
• mean：分布的均值。默认为 0。
• sd：分布的标准差。默认为 1。

使用 ggplot2 进行现代可视化

对于所有绘图示例，我们将使用 ggplot2 包，它是 R 中数据可视化的现代标准。它提供了一个更强大、更灵活的系统，称为图形语法。您可以通过 install.packages("ggplot2") 安装它，或作为 tidyverse 的一部分进行安装。

dnorm()：密度函数

dnorm() 函数计算给定均值和标准差下，特定点 x 处的概率密度（钟形曲线的高度）。

library(ggplot2)

# 创建 x 值序列
x <- seq(-4, 4, by = 0.1)

# 计算标准正态分布的密度（y 值）
y <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1)

# 创建用于绘图的数据框
data_dnorm <- data.frame(x, y)

# 使用 ggplot2 绘制钟形曲线
ggplot(data_dnorm, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "blue", size = 1) +
  labs(
    title = "标准正态分布的概率密度函数 (PDF)",
    x = "Z 分数",
    y = "密度"
  ) +
  theme_minimal()

上述代码生成一个折线图。您将看到经典的钟形曲线，其中心均值为 0，标准差为 1。曲线下的总面积等于 1。

pnorm()：累积分布函数 (CDF)

pnorm() 计算累积概率，即曲线在给定值 q 左侧的面积。它告诉您从该分布中随机抽取的值小于或等于 q 的概率。

library(ggplot2)

# 创建 x 值序列
x <- seq(-4, 4, by = 0.1)

# 计算累积概率（y 值）
y <- pnorm(x, mean = 0, sd = 1)

data_pnorm <- data.frame(x, y)

# 绘制 S 形 CDF 曲线
ggplot(data_pnorm, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkgreen", size = 1) +
  labs(
    title = "标准正态分布的累积分布函数 (CDF)",
    subtitle = "Z <= x 的概率",
    x = "Z 分数",
    y = "累积概率"
  ) +
  theme_minimal()

此代码生成一个折线图，显示了典型的“S”形曲线（累积曲线）。y 轴从 0 开始，随着 x 的增加而趋近 1，表示密度曲线下累积的面积。

qnorm()：分位数函数

qnorm() 是 pnorm() 的逆函数。您提供一个概率 p（一个面积），它返回对应的分位数（x 轴值）。

library(ggplot2)

# 创建从 0 到 1 的概率序列
x <- seq(0, 1, by = 0.01)

# 找到每个概率对应的 Z 分数（分位数）
y <- qnorm(x, mean = 0, sd = 1)

data_qnorm <- data.frame(x, y)

# 绘制分位数函数
ggplot(data_qnorm, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "purple", size = 1) +
  labs(
    title = "标准正态分布的分位数函数",
    subtitle = "CDF 的逆函数",
    x = "概率（左侧面积）",
    y = "Z 分数（分位数）"
  ) +
  theme_minimal()

此代码生成的图是 CDF 图的镜像，沿 y=x 线翻转。当 x 轴上的概率从 0 变为 1 时，y 轴上的 Z 分数从负无穷大变为正无穷大。

rnorm()：随机数生成

rnorm() 从指定的正态分布中生成 n 个随机数。这对于模拟和统计实验至关重要。我们可以使用直方图来可视化这些随机数的分布。

library(ggplot2)

# 从均值=50，标准差=10 的正态分布生成 1000 个随机数
set.seed(42) # 用于重现性
random_numbers <- rnorm(n = 1000, mean = 50, sd = 10)

data_rnorm <- data.frame(value = random_numbers)

# 绘制直方图以可视化分布
ggplot(data_rnorm, aes(x = value)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), binwidth = 5, fill = "skyblue", color = "black") +
  geom_density(color = "red", size = 1) + # 叠加密度曲线
  labs(
    title = "1000 个随机正态变量的直方图",
    subtitle = "均值=50，标准差=10",
    x = "生成值",
    y = "密度"
  ) +
  theme_minimal()

此代码生成一个直方图，其条形近似于指定正态分布的钟形。叠加的红色密度曲线有助于清晰地显示这种底层形状，该形状应以 50 为中心。