R - 线性回归

R 语言中的现代线性回归

线性回归是一种基础统计方法，用于建模因变量（响应变量）与一个或多个自变量（预测变量）之间的关系。它旨在找到穿过数据点的最佳拟合直线。

简单线性回归的通用方程是：y = β₀ + β₁x + ε，其中 y 是响应变量，x 是预测变量，β₀ 是截距，β₁ 是斜率，ε 是误差项。R 的核心函数 lm() 是进行此操作的标准方法，但我们将使用 tidyverse 和 broom 包来增强我们的工作流程，以实现现代方法。

回归分析的工作流程

一个典型的回归分析项目遵循以下步骤：

• 1. 数据准备：收集数据并将其组织成数据框。
• 2. 探索性分析：可视化变量之间的关系（例如，使用散点图）。
• 3. 模型拟合：使用 lm() 函数创建回归模型。
• 4. 模型解释：分析模型的摘要以理解系数和模型拟合度。
• 5. 模型诊断：检查模型的假设以确保其有效性。
• 6. 预测：使用训练好的模型预测新数据的结果。

示例：根据身高预测体重

让我们建模一个人的身高（预测变量）和体重（响应变量）之间的关系。

# 加载必要的现代包
# install.packages(c("tidyverse", "broom"))
library(tidyverse)
library(broom)

# 步骤 1：将数据准备成 tibble（一种现代数据框）
height_weight_data <- tibble(
  height_cm = c(151, 174, 138, 186, 128, 136, 179, 163, 152, 131),
  weight_kg = c(63, 81, 56, 91, 47, 57, 76, 72, 62, 48)
)

# 步骤 2：使用 ggplot2 通过散点图探索数据
ggplot(height_weight_data, aes(x = height_cm, y = weight_kg)) +
  geom_point() +
  labs(
    title = "Relationship between Height and Weight",
    x = "Height (cm)",
    y = "Weight (kg)"
  ) +
  theme_minimal()

散点图应该显示出正向线性趋势，表明随着身高增加，体重也倾向于增加。

步骤 3 和 4：拟合和解释模型

我们使用 lm() 拟合模型。公式 weight_kg ~ height_cm 可读作“将体重建模为身高的函数”。

# 步骤 3：拟合线性模型
model <- lm(weight_kg ~ height_cm, data = height_weight_data)

# 步骤 4：使用 summary() 解释模型
summary(model)

summary() 的输出信息丰富：

Call:
lm(formula = weight_kg ~ height_cm, data = height_weight_data)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max
-3.9775 -1.8944 -0.0412  1.6629  6.3002

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -38.45509    8.04901  -4.778  0.00139 **
height_cm     0.67461    0.05191  12.997 1.16e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 3.253 on 8 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9548,    Adjusted R-squared:  0.9491
F-statistic: 168.9 on 1 and 8 DF,  p-value: 1.164e-06

摘要的关键点：

• 系数：截距（-38.45）和 height_cm（0.67）给出了我们的回归方程：weight_kg = -38.45 + 0.67 * height_cm。
• P 值 (Pr(>|t|)): height_cm 的 p 值非常小（1.16e-06），表明它是体重的一个统计学上显著的预测变量。
• 多重 R 平方：0.9548 意味着在我们的模型中，大约 95.5% 的体重变异可以由身高解释，这是一个非常好的拟合。

使用 broom 包进行现代解释

broom 包可以将模型输出整理成数据框，这非常适合报告和进一步分析。

# 获取模型系数的整洁 tibble
tidy(model)

# 获取模型级别统计量的 tibble
glance(model)

步骤 5：可视化模型拟合

ggplot2 可以轻松地将回归线叠加到散点图上。

ggplot(height_weight_data, aes(x = height_cm, y = weight_kg)) +
  geom_point(color = "blue", size = 3) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "red") + # 添加回归线
  labs(
    title = "Height & Weight Regression",
    x = "Height in cm",
    y = "Weight in Kg"
  ) +
  theme_bw()

步骤 6：预测新值

使用 predict() 函数估计具有新身高的人的体重。最佳实践是提供与预测变量具有相同列名的新数据框。

# 为新的观测值创建一个数据框
new_height <- tibble(height_cm = 170)

# 预测体重
predicted_weight <- predict(model, newdata = new_height)
print(predicted_weight)

这将输出身高 170 厘米的人的预测体重。

       1
76.22869

最佳实践与后续步骤

• 模型诊断：一个关键步骤是检查线性回归的假设（线性、独立性、残差正态性及等方差性）。您可以通过绘制模型对象来完成此操作：par(mfrow = c(2, 2)); plot(model)。broom 包中的 augment() 函数也非常适合创建用于诊断图的数据框。
• 多元回归：您可以使用公式中的 + 号向模型中添加更多预测变量，例如 lm(y ~ x1 + x2, data = df)。
• 团队协作：使用像 Git 这样的版本控制工具来跟踪 R 脚本的更改。使用像 renv 这样的工具来管理项目特定的包依赖关系，确保您的分析可以被他人重现。