R - 二项分布

R - 二项分布

二项分布是一种基本的离散概率分布。它模拟在固定次数的独立试验中成功的次数，其中每次试验只有两种可能的结果（例如，成功/失败，正面/反面）。例如，我们可以用它来计算在 10 次掷硬币中恰好获得 7 次正面的概率。

R 提供了一套用于处理二项分布的四个函数。这些函数是进行计算和模拟的强大工具。

# R 中的二项分布函数
dbinom(x, size, prob)   # 密度函数（PDF）- P(X = x)
pbinom(q, size, prob)   # 累积分布函数（CDF）- P(X ≤ q)
qbinom(p, size, prob)   # 分位数函数（逆 CDF）
rbinom(n, size, prob)   # 随机数生成

以下是参数的细分说明：

• x, q：分位数向量（成功的次数）。
• p：概率向量。
• n：要生成的随机值数量。
• size：试验次数（例如，10 次掷硬币）。
• prob：单次试验成功的概率（例如，公平硬币为 0.5）。

dbinom() - 概率质量函数

此函数计算在 size 次试验中观察到恰好 x 次成功的概率。让我们以 50 次试验和 0.5 的成功概率（例如 50 次掷硬币）为例，可视化其概率分布。

对于现代、出版质量的图形，我们将使用 tidyverse 中的 ggplot2 包。

# 确保您已安装 tidyverse: install.packages("tidyverse")
library(ggplot2)
library(dplyr)

# 定义参数
num_trials <- 50
prob_success <- 0.5

# 创建用于绘图的数据框
binom_data <- tibble(
  successes = 0:num_trials,
  probability = dbinom(x = successes, size = num_trials, prob = prob_success)
)

# 使用 ggplot2 创建图表
binom_plot <- ggplot(binom_data, aes(x = successes, y = probability)) +
  geom_col(fill = "#0072B2", alpha = 0.8) + # 使用柱状图表示离散分布
  labs(
    title = "二项概率分布",
    subtitle = paste("n = ", num_trials, ", p = ", prob_success),
    x = "成功次数",
    y = "概率"
  ) +
  theme_minimal() # 使用简洁主题

# 显示图表
print(binom_plot)

# 将图表保存到文件：
# ggsave("binomial_distribution.png", plot = binom_plot, width = 8, height = 5)

执行此代码后，它会生成一个条形图。x 轴显示成功次数（从 0 到 50），y 轴显示每个结果的概率。图表将呈钟形，在 25 次成功处达到峰值，这是最可能的结果。

pbinom() - 累积概率

此函数计算事件的累积概率，即获得 q 次或更少成功的概率。这对于回答“在 51 次掷硬币中，获得 26 次或更少正面的概率是多少？”这类问题非常有用。

# 计算从 51 次掷公平硬币中获得 26 次或更少正面的概率。
prob_leq_26 <- pbinom(q = 26, size = 51, prob = 0.5)

print(prob_leq_26)

当我们执行上述代码时，它会产生以下结果：

[1] 0.610116

qbinom() - 分位数函数

这是 pbinom() 的逆函数。它接受一个概率 p，并返回成功次数 x，使得 pbinom(x, ...) 等于 p。它回答诸如“当硬币掷 51 次时，多少次正面会标志着结果的第 25 百分位数？”这类问题。

# 查找当硬币掷 51 次时，25% 的结果低于多少次正面。
quantile_val <- qbinom(p = 0.25, size = 51, prob = 0.5)

print(quantile_val)

当我们执行上述代码时，它会产生以下结果：

[1] 23

rbinom() - 随机数生成

此函数用于模拟。它从具有指定参数的二项分布中生成 n 个随机值。这对于模拟实验非常有用。

# 从一个包含 150 次试验、成功概率为 0.4 的实验中生成 8 个随机结果。
set.seed(42) # 设置随机种子以保证可重现性
random_outcomes <- rbinom(n = 8, size = 150, prob = 0.4)

print(random_outcomes)

由于输出是随机的，除非您使用 set.seed()，否则您的结果会有所不同。将种子设置为 42 后，结果如下：

[1] 61 67 56 61 64 61 58 59