R - 非线性最小二乘

R - 非线性最小二乘法

虽然线性回归功能强大，但许多现实世界中的现象并不遵循直线关系。它们更适合用非线性模型来描述，例如生物学中的指数增长曲线或经济学中的幂律。非线性最小二乘法（NLS）是一种将非线性模型拟合到数据集的方法。其目标与线性回归相似，都是找到使观测数据与模型预测值之间平方差之和最小的参数值。

在 R 中，用于非线性最小二乘的标准函数是 nls()。该过程涉及定义模型公式、提供数据，以及——最重要的是——为算法提供合理的参数初始估计值。然后，该函数会迭代地精炼这些估计值以找到最佳拟合。

语法

nls() 的基本语法是：

nls(formula, data, start)

• formula：一个非线性模型公式，包含变量和你希望估计的参数（例如，y ~ a * x^b）。
• data：一个包含公式中所用变量的数据框。
• start：一个命名列表或向量，包含参数的初始猜测值（例如，list(a = 1, b = 2)）。

示例：拟合二次模型

让我们将模型 y = b1*x^2 + b2 拟合到一些示例数据。一个关键步骤是选择好的初始值。我们通常可以通过绘制数据来获得线索。

# 加载用于数据操作和绘图的现代包
library(tidyverse)

# 1. 准备数据
xvalues <- c(1.6, 2.1, 2, 2.23, 3.71, 3.25, 3.4, 3.86, 1.19, 2.21)
yvalues <- c(5.19, 7.43, 6.94, 8.11, 18.75, 14.88, 16.06, 19.12, 3.21, 7.58)

# 创建一个 tibble（一种现代数据框）
data_to_fit <- tibble(x = xvalues, y = yvalues)

# 2. 可视化数据以猜测初始值
# 曲线看起来像一个向上开口的抛物线（x^2 项），并向上平移。
# 我们猜测 b1 ≈ 1 且 y 截距 b2 ≈ 2 或 3。
ggplot(data_to_fit, aes(x = x, y = y)) +
  geom_point(color = "blue", size = 3) +
  labs(title = "Data and Initial Guesses", x = "X Values", y = "Y Values")

# 3. 定义初始值并拟合模型
start_values <- list(b1 = 1, b2 = 3)

# 使用 nls() 查找最佳拟合参数
nls_model <- nls(y ~ b1 * x^2 + b2, data = data_to_fit, start = start_values)

# 4. 检查模型摘要
# summary() 比直接打印模型提供的信息更丰富
print(summary(nls_model))

# 5. 获取参数的置信区间
print(confint(nls_model))

摘要提供了关于模型拟合的详细信息：

Formula: y ~ b1 * x^2 + b2

Parameters:
   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
_
b1  1.19235    0.05203  22.917 1.48e-08 ***
b2  1.99692    0.44858   4.452  0.00193 **
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.3677 on 8 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 4
Achieved convergence tolerance: 4.887e-07

Waiting for profiling to be done...
       2.5%    97.5%
b1 1.072228 1.312471
b2 0.962804 3.031045

使用 ggplot2 可视化拟合结果

评估模型的最佳方法是在原始数据上绘制拟合曲线。我们可以使用 predict() 函数从模型生成点。

# 使用模型的拟合值扩展原始数据
fit_data <- broom::augment(nls_model)

# 绘制原始数据点和拟合的非线性最小二乘曲线
ggplot(data = data_to_fit, aes(x = x, y = y)) +
  geom_point(color = "blue", size = 3, alpha = 0.7) +
  geom_line(data = fit_data, aes(y = .fitted), color = "red", size = 1) +
  labs(
    title = "Nonlinear Least Squares Fit",
    subtitle = "y = 1.19*x^2 + 2.00",
    x = "X Values",
    y = "Y Values"
  ) +
  theme_minimal()

常见挑战：收敛性

使用 nls() 时一个常见问题是未能收敛。这通常意味着以下两种情况之一：

1. 初始值选择不当：参数的初始猜测值与最优值相差太远。尝试绘制你的数据并进行更明智的猜测。
2. 模型不合适：你所选的模型公式可能与数据的基础结构存在根本性的拟合不良。考虑使用不同的模型。