NumPy - 线性代数

NumPy - 线性代数（numpy.linalg）

线性代数是数学的一个基础分支，对于许多科学和工程领域至关重要，包括机器学习、物理模拟、数据分析和计算机图形学。NumPy 提供了一个专门的模块 numpy.linalg，提供了一整套用于执行常见线性代数运算的函数。

虽然 scipy.linalg 通常提供更高级且可能更稳健的实现（特别是对于边缘情况或特定矩阵类型），但 numpy.linalg 涵盖了许多标准任务所需的基本例程。

以下是 numpy.linalg 中一些关键函数：

函数	描述
numpy.dot(a, b)	计算两个数组的点积。对于二维数组，它等同于矩阵乘法。对于一维数组，它是内积。
numpy.linalg.multi_dot([...])	在单个函数调用中高效计算两个或多个数组的点积。
numpy.vdot(a, b)	计算两个向量（扁平化数组）的点积，正确处理复共轭。
numpy.inner(a, b)	计算两个数组的内积。对于向量，它类似于 dot。对于更高维度，沿最后一个轴求乘积的和。
numpy.outer(a, b)	计算两个向量的外积。
numpy.matmul(a, b) or a @ b	计算两个数组的矩阵乘积。这是进行矩阵乘法的首选函数/运算符（自 Python 3.5 起）。
numpy.linalg.det(a)	计算方阵的行列式。
numpy.linalg.slogdet(a)	计算数组行列式的符号和对数。
numpy.linalg.solve(a, b)	求解线性标量方程组 a * x = b 中的 x，其中 a 是方阵。
numpy.linalg.inv(a)	计算方阵的乘法逆矩阵。
numpy.linalg.pinv(a)	计算矩阵的 Moore-Penrose 伪逆矩阵（对非方阵或奇异矩阵有用）。
numpy.linalg.eig(a)	计算方阵的特征值和右特征向量。
numpy.linalg.svd(a)	计算矩阵的奇异值分解 (SVD)。
numpy.linalg.qr(a)	计算矩阵的 QR 分解。
numpy.linalg.norm(a)	计算矩阵或向量范数。

示例：矩阵乘法和解线性方程组

import numpy as np

# Define two matrices
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# Matrix multiplication using the @ operator (preferred)
C = A @ B
print(f"Matrix A:\n{A}")
print(f"Matrix B:\n{B}")
print(f"Matrix product A @ B:\n{C}")

# Alternative using numpy.matmul()
C_matmul = np.matmul(A, B)
print(f"Matrix product using np.matmul():\n{C_matmul}")

# Define a system of equations: Ax = b
# 2x + 3y = 8
# 4x + 1y = 6

a_eq = np.array([[2, 3], [4, 1]])
b_eq = np.array([8, 6])

# Solve for x (which contains [x, y])
x_sol = np.linalg.solve(a_eq, b_eq)
print(f"\nSystem matrix a_eq:\n{a_eq}")
print(f"System vector b_eq: {b_eq}")
print(f"Solution x: {x_sol}")

# Verify the solution
print(f"Verification (a_eq @ x_sol): {a_eq @ x_sol}")

输出：

Matrix A:
[[1 2]
 [3 4]]
Matrix B:
[[5 6]
 [7 8]]
Matrix product A @ B:
[[19 22]
 [43 50]]
Matrix product using np.matmul():
[[19 22]
 [43 50]]

System matrix a_eq:
[[2 3]
 [4 1]]
System vector b_eq: [8 6]
Solution x: [1. 2.]
Verification (a_eq @ x_sol): [8. 6.]

应用：线性代数在机器学习（例如，在 PCA、线性回归、神经网络等算法中）、物理学（求解微分方程组）、计算机图形学（变换）和优化问题等领域至关重要。

深入了解 numpy.linalg 文档 中的功能。